Question

【题目】已知椭圆的离心率，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3．

（1）求椭圆的方程；

（2）动直线与椭圆交于A,B两点，在平面上是否存在定点P，使得当直线PA与直线PB的斜率均存在时，斜率之和是与无关的常数？若存在，求出所有满足条件的定点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）由离心率写出a，c的关系，结合条件求得a与b的关系，再由则椭圆方程可求；

（2）设出A，B，P的坐标，联立直线与椭圆方程，将斜率之和用坐标表示，利用韦达定理，化简，并利用多项式的恒等条件（相同次项的系数相等）建立方程，解得P的坐标．

(1) 设椭圆的半焦距为c，则，且．由解得．

依题意，，于是椭圆的方程为．

(2)设，P(m,n),将，与椭圆方程联立得

则有

如果存在P（m，n）使得kPA+kPB为定值，那么kPA+kPB的取值将与t无关，

又直线PA,PB的斜率之和为：

当时斜率的和恒为0，解得

综上所述，所有满足条件的定点P的坐标为或．