Question

如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，BC=1，AE=BE=

3

，若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM+MN+NB的最小值为

3

．

Answer 1

分析：由面面垂直性质定理，得到AD⊥平面ABCD，从而Rt△ADE中，根据题中数据算出∠AED=∠AED=30°．证出△CDE中，是边长为2的等边三角形，从而∠DEC=60°．将四棱锥E-ABCD的侧面沿展开铺平如图，在展开图△ABE中由余弦定理算出AB长等于3，即为AM+MN+NB的最小值．

解答：解：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB
∴AD⊥平面ABCD，
可得Rt△ADE中，AD=1，AE=

3

，
∴∠AED=30°，同理得到∠BEC=30°
∵△CDE中，CD=DE=CE=2，∴∠DEC=60°，
将四棱锥E-ABCD的侧面AED、DEC、CEB沿DE、CE展开铺平如图，
则展开图△ABE中，∠AEB=120°，由余弦定理得
AB²=AE²+BE²-2AE•BE•cos120°=3+3-2×3×（-

1

2

）=9，
解之得AB=3，即AM+MN+BN的最小值为3．
故答案为：3．

点评：本题给出四棱锥E-ABCD，求折线AM+MN+BN的最小值．着重考查了面面垂直性质定理解三角形和空间问题平面化的思路等知识，属于中档题．