Question

【题目】已知抛物线的焦点F与椭圆的右焦点重合，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）记抛物线C的准线与x轴的交点为H，试问：是否存在，使得，且成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；

【解析】

（1）根据抛物线的焦点，结合椭圆的焦点，可得结果.

（2）巧设直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，可得，然后根据，可得到的式子，最后可得结果.

（1）依题意：在椭圆中，

，，则，

所以点，则，即.

故抛物线C的方程为.

（2）设直线，，，

联立，消去x，得.

因为，所以，

且.

又，则，

即，代入①，得，

消去，得.易得，

则

由

.

由，

解得或（舍去），

将代入，

得，

又由题意，可得，

解得或.

故存在满足题意的实数，

其取值范围是.