Question

【题目】如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）若∠CAB=60°，⊙O的半径为2，EC=1，求DE的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，

∴∠ODA=∠OAD=∠DAC，∴OD∥AE，

又AE⊥DE，∴DE⊥OD，又OD为半径，

∴DE是圆O的切线

（2）解：连结BC，在Rt△ABC中，∠CAB=60°，AB=4，

∴AC=ABcos60°=2…（7分）

又∵EC=1，∴AE=EC+CA=3，

由圆的切割线定理得：

DE2=CEEA=3，∴ ．

【解析】（1）连接OD，由已知得∠ODA=∠OAD=∠DAC，从而OD∥AE，由此能证明DE是圆O的切线．（2）连结BC，由已知得AC=2，AE=EC+CA=3，由此利用圆的切割线定理能求出DE的值．