Question

20．若点（$\sqrt{2}$，2）在幂函数f（x）的图象上，点（2，$\frac{1}{2}$）在幂函数g（x）的图象上，定义h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≤g（x）}\\{g（x），f（x）＞g（x）}\end{array}\right.$求函数h（x）的最大值及单调区间．

Answer 1

分析 设f（x）=xⁿ，g（x）=x^m，代入点的坐标，解方程可得f（x），g（x）的解析式，再由定义，求得h（x）的解析式，通过二次函数和反比例函数的性质，可得最大值和单调区间．

解答 解：设f（x）=xⁿ，g（x）=x^m，
由题意可得2=（$\sqrt{2}$）ⁿ，解得n=2，
即有f（x）=x²；
$\frac{1}{2}$=2^m，解得m=-1，即有g（x）=x^-1．
由f（x）=g（x），可得x=1，
即有h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，0＜x≤1}\\{\frac{1}{x}，x＞1或x＜0}\end{array}\right.$；
当0＜x≤1时，h（x）递增，可得0＜h（x）≤1；
当x＞1或x＜0时，h（x）递减，可得h（x）∈（0，1）∪（-∞，0），
即有h（x）的最大值为1；
增区间为（0，1]；减区间为（-∞，0），（1，+∞）．

点评 本题考查幂函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，同时考查分段函数的运用，函数的单调性和最值的求法，属于中档题．