(2)由(1)可知:过抛物线的焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点,存在定点P,使得PA·PB为定值.请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.
(1)证法一:若直线l垂直于x轴,则A(,p)、B(,-p).
·=()2-p2=-.
若直线l不垂直于x轴,设其方程为y=k(x-),A(x1,y1)、B(x2,y2),
由得k2x2-p(2+k2)x+k2=0.
∴x1+x2=,x1x2=.
∴·=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-)(x2-)
=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+
=(1+k2)-·+=-.
综上, ·=-为定值.
证法二:设直线l的方程为x=my+,A(x1,y1)、B(x2,y2).
由得y2-2pmy-p2=0.
∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2.
∴·=x1x2+y1y2=(my1+)(my2+)+y1y2=(1+m2)y1y2+m(y1+y2)+
=(1+m2)(-p2)-·2pm+=-.
∴·=-为定值.
(2)解:关于椭圆有类似的结论:过椭圆=1(a>b>0)的一个焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点,存在定点P,使为定值.
证明:不妨设直线l过椭圆=1的右焦点F(c,0)(其中c=).
若直线l不垂直于x轴,则设其方程为y=k(x-c),A(x1,y1)、B(x2,y2).
由得(a2k2+b2)x2-2a2ck2x+(a2c2k2-a2b2)=0.
所以x1+x2=,x1x2=.
由对称性可知,设点P在x轴上,其坐标为(m,0).
所以=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=(1+k2)x1x2-(m+ck2)(x1+x2)+m2+c2k2
=(1+k2)-(m+ck2)+m2+c2k2
=.
要使为定值,只要a4-a2b2-b4+a2m2-2a2cm=a2(m2-a2),
即m===.
此时 =m2-a2==.
若直线l垂直于x轴,则其方程为x=c,A(c,),B(c,).取点P(,0),
有=[-]2-=.
综上,过焦点F(c,0)的任意直线l交椭圆于A、B两点,存在定点P(,0),
使=为定值.
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x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
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(2)由(1)可知:过抛物线的焦点F的动直线l交抛物线于A,B两点,存在定点P,使得·为定值.请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.
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