Question

已知函数（常数a∈R⁺）
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（Ⅱ）试研究函数f（x）在定义域内的单调性，并利用单调性的定义给出证明．

Answer 1

解：（1）定义域为：（-∞，0）∪（0，+∞）
∵，
∴f（x）是偶函数．
（2）f（x）=（a∈R⁺）
1⁰若或，则f（x）=，设
由≤x₁＜x₂?x₁²x₂²≥a²?≤且x₂²-x₁²＞0，
当?a 时，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在上是增函数；
又f（x）是偶函数，f（x）在上是减函数．
当时，时，
，1≤x₁＜x₂时，
．
∴f（x）在上是减函数，
在[1，+∞）上是增函数；
又f（x）是偶函数，在上是增函数，
在（-∞，-1]上是减函数．
2⁰若，则f（x）=，
设，同理∴f（x）在上是减函数，
又f（x）是偶函数，于是f（x）在上是增函数．
由1⁰2⁰知：当0＜a≤1时，f（x）在（0，1]上是减函数，
在[1，+∞）上是增函数，在（-∞，-1]上是减函数，在[-1，0）上是增函数；
当a＞1时，f（x）在上是减函数，在上是增函数，
在上是减函数，在上是增函数．
分析：（Ⅰ）首先要考虑函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义即可获得问题的解答；
（Ⅱ）首先将绝对值函数转化为分段函数，然后分类讨论不同段上的函数单调性即可，讨论时用定义法即可．
点评：本题考查的是函数奇偶性与单调性判断与证明的问题．在解答的过程当中充分体现了函数奇偶性和单调性的定义、分类讨论的思想以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．