Question

定义在R上的函数，对任意不等的实数都有成立，又函数的图象关于点（1，0）对称，若不等式成立，则当1≤x<4时，的取值范围是

A．

B．

C．

D．

Answer 1

A

试题分析：解：因为对任意不等实数x₁，x₂满足所以函数f（x）是定义在R上的单调递减函数．因为函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，所以函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数f（x）是定义在R上的奇函数．又因为对于任意的x，y∈R，不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0成立，所以f（x²-2x）≥f（-2y+y²）成立，所以根据函数的单调性可得：对于任意的x，y∈R，不等式x²-2x≥y²-2y成立，即（x-y）（x+y-2）≥0（1≤x≤4），所以可得其可行域，如图所示：

因为=所以表示点（x，y）与点（0，0）连线的斜率，所以结合图象可得：的最小值是直线OC的斜率- ，最大值是直线AB的斜率1，所以的范围为：[故答案为：
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握抽象函数的性质的证明与判断，如单调性、奇偶性的证明与判断，并且熟练的利用函数的性质解有关的不等式，以及熟练掌握线性规划问题，此题综合性较强知识点也比较零散，对学生掌握知识与运用知识的能力有一定的要求．