Question

甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2
（1）求ξ，η的分布列
（2）求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意利用题中的条件已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，可以得到：0.5+3a+a+0.1=1解出a的值，再有随机变量ξ，η的意义得到相应的分布列；
（2）由于（1）中求得了随机变量的分布列，利用期望与方差的定义与二则的实际含义即可．
解答：解：（1）依题意得0.5+3a+a+0.1=1，解得a=0.1，
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，
乙射中7环的概率，1-（0.3+0.3+0.2）=0.2，
ξ，η的分布列为：

ξ	10	9	8	7
P	0.5	0.3	0.1	0.1

η	10	9	8	7
P	0.3	0.3	0.2	0.2

（2）利用期望定义得：Eξ=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2，
                     Eη=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7，
                    Dξ=0.5×（10-9.2）²+0.3×（9-9.2）²+0.1×（8-9.2）²+0.1×（7-9.2）²=0.96，
                    Dη=0.3×（10-8.7）²+0.3×（9-8.7）²+0.2×（8-8.7）²+0.2×（7-8.7）²=1.21，
利用期望与方差的几何含义可知：甲选手的平均成绩比乙的优秀且成绩相对稳定．
点评：此题考查了随机变量的分布列，期望与方差的计算公式及几何含义，注意计算时的准确度及公式使用的正确性．