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如图,正四面体ABCD中,E在棱AB上,F在棱CD上,使得==λ (0<λ<+∞),记f(λ)=αλλ其中αλ表示EF与AC所成的角,βλ表示EF与BD所成的角,则( )

A.f(λ)在(0,+∞)单调增加
B.f(λ)在(0,+∞)单调减少
C.f(λ) 在(0,1)单调增加,而在(1,+∞单调减少
D.f(λ)在(0,+∞)为常数
【答案】分析:根据αλ表示EF与AC所成的角,βλ表示EF与BD所成的角,证明AC⊥BD,可得结论.
解答:解:作EG∥AC交BC于G,连GF,

==,故GF∥BD
∴∠GEF=αλ,∠GFE=βλ
取BD的中点M,连接AM,CM,∵ABCD是正四面体,∴BD⊥AM,BD⊥CM,
∵AM∩CM=M,∴BD⊥平面ACM
∵AC?平面ACM
∴AC⊥BD,∴∠EGF=90°
故f(λ)=)=αλλ=∠GEF+∠GFE=90°,即为常数.
故选D.
点评:本题考查空间角的计算,考查线面垂直,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.
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3
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D、
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3
36
πa3

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