Question

（本题满分10分）
如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=2，OB=3，OC=4，E是OC的中点．

（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A－BE－C的余弦值．

Answer 1

(1) (2)

试题分析：解：（I）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，2），B（3，0，0），C（0，4，0），E（0，2，0）．
 
所以，cos<>．          ……………………3分
由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，
所以，异面直线BE与AC所成角的余弦值是．      ……………………5分

（II），，
设平面ABE的法向量为，
则由，，得，
取，
又因为
所以平面BEC的一个法向量为n₂＝（0，0，1），
所以． ……………………8分
由于二面角A－BE－C的平面角是n₁与n₂的夹角的补角，
所以，二面角A－BE－C的余弦值是．……………………10分
点评：对于角的求解问题，一般分为三步进行，一作，二证，三解答。因此要掌握角的表示，结合定义法和性质来分析得到角，进而求解，属于基础题。