Question

13．过双曲线$C：\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的右焦点F作x轴的垂线，交双曲线C于M、N两点，A为左顶点，这∠MAN=θ，双曲线C的离心率为f（θ），则$f（\frac{2π}{3}）-f（\frac{π}{3}）$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用离心率的定义，分别求出f（$\frac{2π}{3}$）、f（$\frac{π}{3}$）．即可求出f（$\frac{2π}{3}$）-f（$\frac{π}{3}$）．

解答 解：由题意，M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），θ=$\frac{2π}{3}$，tan$\frac{π}{3}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{a+c}$，∴e=$\sqrt{3}$+1，即f（$\frac{2π}{3}$）=$\sqrt{3}$+1；
θ=$\frac{π}{3}$，tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{a+c}$，∴e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$+1，即f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$+1，
∴f（$\frac{2π}{3}$）-f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查离心率的定义，考查双曲线的性质，属于中档题．