Question

四位同学在研究函数f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）时，分别给出下面四个结论：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③f（x）是连续且递增的函数，但f（0）不存在；
④若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，则f_n（x）=

x

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立，
上述四个结论中正确的是

①②④

．

Answer 1

分析：根据题意，利用函数的奇偶性、单调性及递推关系对四个选项逐一判断即可．

解答：解：①当x＞0时，f(x)=

x

1+x

=

1+x-1

1+x

=1-

1

1+x

，此时函数为增函数，所以0＜1-

1

1+x

＜1，即0＜y＜1．
当x＜0时，f(x)=

x

1-x

=

(x-1)+1

1-x

=-1+

1

1-x

=-1-

1

x-1

，此时函数为增函数，所以-1＜-1+

1

1-x

＜0，即-1＜y＜0．
当x=0时，f（x）=0．
综上-1＜f（x）＜1，即函数f（x）的值域为（-1，1）．所以①正确．
②由①知函数f（x）单调递增，所以当x₁≠x₂时，则一定有f（x₁）≠f（x₂），所以②正确．
③当x=0时，f（0）=0，所以③错误．
④f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

，f₂（x）=f[f₁（x）]=

x

1+2|x|

，同理可求，f₃（x）=

x

1+3|x|

，由归纳推理可得f_n（x）=

x

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立，
所以④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数f（x）=

x

1+|x|

的性质，考查分析问题与解决问题的能力．