Question

（2011•广东三模）已知函数f(x)=

(3-a)x-3(x≤6) ax-6(x＞6)

a_n=f（n），n∈N^*，{a_n}是递增数列，则实数a的取值范围是

(

15

7

，3)

．

Answer 1

分析：由题设知当1≤n≤6时，a_n=（3-a）n-3；当n＞6时，a_n=a^n-6．再由{a_n}是递增数列，建立不等式组

3-a＞0 a＞1 a7=a＞a6=(3-a)×6-3

，由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：∵函数f(x)=

(3-a)x-3(x≤6) ax-6(x＞6)

，
a_n=f（n），n∈N^*，
∴当1≤n≤6时，a_n=（3-a）n-3；
当n＞6时，a_n=a^n-6．
∵{a_n}是递增数列，
∴

3-a＞0 a＞1 a7=a＞a6=(3-a)×6-3

，
解得

15

7

＜a＜3．
故答案为：（

15

7

，3）．

点评：本题考查数列与函数的综合，易错点是忽视a₇＞a₆，导致出错．解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用．