Question

18．已知复数z满足（1+2i）$\overline{z}$=4+3i．
（1）求复数z；
（2）若复数（z+ai）²在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由（1+2i）$\overline{z}$=4+3i，得$\overline{z}=\frac{4+3i}{1+2i}$，然后利用复数代数形式的乘除运算化简$\overline{z}$，则复数z可求；
（2）把复数z代入（z+ai）²，然后利用复数代数形式的乘法运算化简，又已知复数（z+ai）²在复平面上对应的点在第一象限，列出不等式组求解即可得答案．

解答 解：∵（1+2i）$\overline{z}$=4+3i，
∴$\overline{z}=\frac{4+3i}{1+2i}$=$\frac{（4+3i）（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}=\frac{10-5i}{5}=2-i$．
∴z=2+i；
（2）（z+ai）²=（2+i+ai）²=[2+（a+1）i]²=4-（a+1）²+4（a+1）i，
∵复数（z+ai）²在复平面上对应的点在第一象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-（a+1）^{2}＞0}\\{4（a+1）＞0}\end{array}\right.$，
解得-1＜a＜1．
即实数a的取值范围为：（-1，1）．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．