Question

已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点为抛物线x²＝4y的焦点．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线y＝x－1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程；
(3)若斜率为1的直线交椭圆于M、N两点，求△OMN面积的最大值(O为坐标原点)．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）(x－2)²＋(y－1)²＝4（3）

(1)由题意设椭圆方程为：＝1(a＞b＞0)，
因为抛物线x²＝4y的焦点为(0,1)，
所以b＝1.由离心率e＝＝，a²＝b²＋c²解得a＝，b＝1，c＝1，椭圆方程为＋y²＝1.
(2)由解得，所以A＝(2,1)．
因为抛物线的准线方程为y＝－1，
所以圆的半径r＝1－(－1)＝2，
所以圆的方程为(x－2)²＋(y－1)²＝4.
(3)设直线MN方程为y＝x＋m，由得3x²＋4mx＋2m²－2＝0.
由判别式Δ＝16m²－12(2m²－2)＞0，解得－＜m＜.
设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝－m，x₁x₂＝，
所以|MN|＝
原点O到直线MN的距离d＝
S＝|MN|d＝＝≤ (m²＋3－m²)＝.
当且仅当m²＝3－m²即m＝±时等号成立，所以三角形OMN面积的最大值为.