Question

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）设CD=a，求三棱锥A-BFE的体积．

Answer 1

分析：（1）先证明AB⊥底面BDC，可得AB⊥CD，又DC⊥BC，从而证明DC⊥平面ABC．
（2）由（1）知 EF⊥平面ABC，求得S△AEB=

3

2

a2，代入体积公式VA-BFE=VF-AEB=

1

3

S△AEB•FE进行运算可得答案．

解答：解：（1）证明：在图甲中，∵AB=BD，且∠A=45°，
∴∠ADB=45°，∠ABC=90° 即AB⊥BD．
在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD，
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．又∠DCB=90°，
∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC．
（2）∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF∥CD，
又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，
∴VA-BFE=VF-AEB=

1

3

S△AEB•FE，在图甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°，
由CD=a得BD=2a，BC=

3

a，EF=

1

2

CD=

1

2

a，∴S△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

•2a•

3

a=

3

a2，
∴S△AEB=

3

2

a2，∴VA-BFE=

1

3

•

3

2

a2•

1

2

a=

3

12

a3．

点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，求出△AEB的面积，确定棱锥的高为EF 是解题的关键．