Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，其边长为2，E、F分别是AD，A₁B₁的中点，G、H是BB₁，BC的两个动点，
（1）若直线FG与EH相交于点P，求证：P∈AB
（2）在（1）的条件下，若G是BB₁，的中点，求GH的长．

Answer 1

分析：（1）可通过证明点P∈面AB₁，P∈面AC，故点P在两个平面的交线上证明点在线上；
（2）先在图形中找到线段GH，观察其所在的位置，将其纳入三角形GBH中，用勾股定理求解其值．

解答：解：（1）证：由题，FG∩EH=P
又FG?面ABB₁A₁，EH?面ABCD
∴P∈面AB₁，P∈面AC
又面AB₁∩面AC=AB，由公理三知，P∈AB
（2）因G为中点，且FB₁∥BP，所以Rt△FGB₁≌Rt△GBP
所以BP=FB₁=1，
又△BPH∽△APE，所以BH=

BP

AP

×AE=

1

3

，
在Rt△GBH中，GH=

BH2+GB2

=

( 1 3 )2+1

=

10

3

即GH的长为

10

3

点评：本题考查点、线、面间的距离计算，解题的关键是根据所给的几何图形几何特征得出两点间的线段所在位置的几何特征，根据所得的几何特征进行计算求出点线面的距离，本题考查了空间想像能力及数形结合的技巧