Question

函数f（x）=

ax+1

x+2

（a为常数）．
（1）若a=1，证明：f（x）在（-2，+∞）上为单调递增函数；
（2）若a＜0，且当x∈（-1，2）时，f（x）的值域为（-

3

4

，3），求a的值．

Answer 1

考点：函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）若a=1，则f（x）=

x+1

x+2

，从而利用定义法证明．
（2）若a＜0，且当x∈（-1，2）时，可证明f（x）在（-1，2）上为减函数，从而可得

2a+1

4

＜f（x）＜1-a，从而可得

2a+1 4 =- 3 4 1-a=3

，从而解得．

解答： 解：（1）证明：若a=1，则f（x）=

x+1

x+2

，
设任意x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

x1+1

x1+2

-

x2+1

x2+2

=

(x1+1)(x2+2)-(x2+1)(x1+2)

(x1+2)(x2+2)

=

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

，
因为x₁+2＞0，x₂+2＞0，且x₁-x₂＜0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（-2，+∞）上是增函数．
（2）若a＜0，且当x∈（-1，2）时，
同理可证明f（x）在（-1，2）上为减函数，
所以f（2）＜f（x）＜f（-1），
即

2a+1

4

＜f（x）＜1-a．
因为当x∈（-1，2）时，f（x）的值域为（-

3

4

，3），
所以

2a+1 4 =- 3 4 1-a=3

解得a=-2．

点评：本题考查了函数的化简与判断的应用，同时考查了参数的求法，属于基础题．