Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，D是CC₁的中点，F是A₁B的中点，
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥平面BDF．

Answer 1

分析：（1）取AB中点E，连接CE，证明EFDC是平行四边形，可得DF∥CE，利用线面平行的判定可得结论；
（2）根据CE⊥平面A₁AB和直线与平面垂直度的性质可知CE⊥AF，进而根据DF∥CE，判断出AF⊥DF，同时AF⊥A₁B根据直线与平面垂直的判定定理可知AF⊥平面A₁BD．

解答：证明：（1）取AB的中点E，连接EF，CE，
因为F是A₁B的中点，所以EF是△A₁AB的中位线，
所以EF=

1

2

AA1，且EF∥AA₁，
又因为D是CC₁的中点，所以EF∥CD，且EF=CD，
所以四边形CDFE是平行四边形，所以DF∥CE，
又CE?平面ABC，DF?平面ABC
所以DF∥平面ABC
（2）因为AB=AA₁且F是A₁B的中点，所以AF⊥A₁B，
又因为CE⊥平面A₁AB，且DF∥CE，
所以DF⊥平面A₁AB，
∵AF?平面A₁AB，
所以AF⊥DF，又A₁B∩DF=F，
所以AF⊥平面BDF．

点评：本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．