Question

【题目】函数f（x）=x3+sinx+2x的定义域为R，数列{an}是公差为d的等差数列，且a1+a2+a3+a4+…a2015＜0，记m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…f（a2015），关于实数m，下列说法正确的是（　　）
A.m恒为负数
B.m恒为正数
C.当d＞0时，m恒为正数；当d＜0时，m恒为负数
D.当d＞0时，m恒为负数；当d＜0时，m恒为正数

Answer 1

【答案】A
【解析】∵函数f（x）=x3+2x+sinx的定义域为R、是奇函数，
且它的导数f′（x）=x2+1+cosx≥0，故函数f（x）在R上是增函数．
因为数列{an}是公差为d的等差数列，分3种情况讨论：
①当d＞0时，数列为递增数列，由a1+a2015＜0，
可得 a2015＜﹣a1 ， ∴f（a2015）＜f（﹣a1）=﹣f（a1），∴2f（a1008）=f（a1）+f（a2015）＜0．
同理可得，f（a2）+f（a2014）＜0，f（a3）+f（a2013）＜0，…
故 m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2012）+f（a2014）
=f（a1）+f（a2015）+f（a2）+f（a2014）+f（a3）+f（a2013）+…+f（a1008）＜0．
②当d＜0时，数列为递减数列，同理求得 m＜0．
③当d=0时，该数列为常数数列，每一项都小于，故有f（an）＜0，
综上，有m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2014）+f（a2015）＜0，
故选A．
【考点精析】掌握函数奇偶性的性质和函数的值是解答本题的根本，需要知道在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇；函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法．