Question

【题目】如图甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC＝PB＝2CD，A是PB的中点．

现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如图乙所示），E、F分别为BC、AB边的中点．

（1）求证：平面PAE⊥平面PDE；

（2）在PE上找一点Q，使得平面BDQ⊥平面ABCD．

（3）在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）当PQ=2QE时，平面BDQ⊥平面ABCD； （3）满足AG＝ AP时，有FG∥平面PDE．.

【解析】

（1）现根据线面平行的判定得到PA⊥平面ABCD，根据底面图形特点得到AE⊥ED，又因为PA⊥ED进而得到ED⊥平面PAE，可推得面面垂直；（2）假设平面BDQ⊥平面ABCD，面BDQ交底面ABCD于H点，根据线面平行的性质得到PA平行于面BDQ，QH平行于PA再由相似导出比例关系；（3）过点F作FH∥ED交AD于H，再过H作GH∥PD交PA于G，连接FG，证明平面FHG∥平面PED，即可证明FG∥平面PDE．

（1）证明：因为PA⊥AD， PA⊥AB， ABAD＝A，

所以PA⊥平面ABCD．因为BC＝PB＝2CD， A是PB的中点，所以ABCD是矩形，

又E为BC边的中点，所以AE⊥ED．

又由PA⊥平面ABCD， 得PA⊥ED， 且PAAE＝A， 所以ED⊥平面PAE，

而ED平面PDE，故平面PAE⊥平面PDE．

（2）假设平面BDQ⊥平面ABCD，面BDQ交底面ABCD于H点，又因为由第一问得到PA⊥平面ABCD，可得到直线PA平行于面BDQ，由线面平行的性质得到QH平行于PA，因为AD平行于BE,BE：AD=EH：HA=1：2，根据三角形EHQ相似于三角形PAE，故得到EQ：EP=HQ:AP=2:3.故当PQ=2QE时，平面BDQ⊥平面ABCD．

（3）过点F作FH∥ED交AD于H，再过H作GH∥PD交PA于G， 连结FG．

由FH∥ED， ED平面PED， 得FH∥平面PED；

由GH∥PD，PD平面PED，得GH∥平面PED，

又FHGH＝H，所以平面FHG∥平面PED．所以FG∥平面PDE．

再分别取AD、PA的中点M、N，连结BM、MN，

易知H是AM的中点，G是AN的中点，

从而当点G满足AG＝AP时，有FG∥平面PDE．