Question

7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x₀）=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，且x₀∈（-$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），求f（x₀+$\frac{1}{3}$）的值．（参考公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ）

Answer 1

分析 （1）由已知得A=$\sqrt{2}$，T=$\frac{4}{3}（\frac{4}{3}+\frac{5}{3}）$=4，从而ω=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，再把（$\frac{4}{3}，\sqrt{2}$）代入，由-π＜φ＜π，结合图象，能求出f（x）．
（2）由已知得$\sqrt{2}sin（\frac{π}{2}{x}_{0}-\frac{π}{6}）=-\frac{\sqrt{10}}{5}$，利用正弦加法定理和同角三角函数关系式能求出f（x₀+$\frac{1}{3}$）．

解答 解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）的部分图象，
得：A=$\sqrt{2}$，T=$\frac{4}{3}（\frac{4}{3}+\frac{5}{3}）$=4，∴ω=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}sin（\frac{π}{2}x+φ）$，
把（$\frac{4}{3}，\sqrt{2}$）代入，得：$\sqrt{2}=\sqrt{2}sin（\frac{π}{2}×\frac{4}{3}+φ）$，
由-π＜φ＜π，结合图象解得，φ=-$\frac{π}{6}$．
∴f（x）=$\sqrt{2}sin（\frac{π}{2}x-\frac{π}{6}）$．
（2）∵f（x₀）=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，且x₀∈（-$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴$\sqrt{2}sin（\frac{π}{2}{x}_{0}-\frac{π}{6}）=-\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴$\sqrt{2}sin（\frac{π}{2}{x}_{0}）cos\frac{π}{6}$-$\sqrt{2}cos（\frac{π}{2}{x}_{0}）sin\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}sin（\frac{π}{2}{x}_{0}）-\frac{\sqrt{2}}{2}cos（\frac{π}{2}{x}_{0}）$=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴$\sqrt{3}sin（\frac{π}{2}{x}_{0}）-cos（\frac{π}{2}{x}_{0}）=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\sqrt{3}sin（\frac{π}{2}{x}_{0}）-\sqrt{1-（si{n}^{2}（\frac{π}{2}{x}_{0}）}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
整理，得20sin²（$\frac{π}{2}{x}_{0}$）+2$\sqrt{15}$sin（$\frac{π}{2}{x}_{0}$）-1=0，
解得sin（$\frac{π}{2}{x}_{0}$）=$\frac{-\sqrt{15}+\sqrt{35}}{20}$或sin（$\frac{π}{2}{x}_{0}$）=$\frac{-\sqrt{15}-\sqrt{35}}{20}$，
∴f（x₀+$\frac{1}{3}$）=$\sqrt{2}sin（\frac{π}{2}{x}_{0}）$=$\frac{-\sqrt{15}+\sqrt{35}}{20}$或f（x₀+$\frac{1}{3}$）=sin（$\frac{π}{2}{x}_{0}$）=$\frac{-\sqrt{15}-\sqrt{35}}{20}$．

点评 本题考查三角函数解析式和三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦加法定理和同角三角函数关系式的合理运用．