【题目】对于无穷数列,记
,若数列
满足:“存在
,使得只要
(
且
),必有
”,则称数列
具有性质
.
(Ⅰ)若数列满足
判断数列
是否具有性质
?是否具有性质
?
(Ⅱ)求证:“是有限集”是“数列
具有性质
”的必要不充分条件;
(Ⅲ)已知是各项为正整数的数列,且
既具有性质
,又具有性质
,求证:存在整数
,使得
是等差数列.
【答案】(Ⅰ)数列不具有性质
;具有性质
;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据新定义直接验证即可的结论(2)对于“是有限集”是“数列
具有性质
”的必要不充分条件,先证不充分性对于周期数列
,
是有限集,但是由于
,
所以不具有性质;再证必要性因为数列
具有性质
,所以一定存在一组最小的
且
,满足
,即
,所以数列
中必然会以某个周期进行,所以数列
中最多有
个不同的项,从而得证(3)因为数列
具有性质
,数列
具有性质
,所以存在
,使得
,
,其中
分别是满足上述关系式的最小的正整数,然后根据其性质列出相关等式可得结论,然后逐一分析取值讨论
试题解析:
(Ⅰ)数列不具有性质
;具有性质
.
(Ⅱ)(不充分性)对于周期数列,
是有限集,但是由于
,
所以不具有性质;
(必要性)因为数列具有性质
,
所以一定存在一组最小的且
,满足
,即
由性质的含义可得
所以数列中,从第k项开始的各项呈现周期性规律:
为一个周期中的各项,
所以数列中最多有
个不同的项,
所以最多有
个元素,即
是有限集.
(Ⅲ)因为数列具有性质
,数列
具有性质
,
所以存在,使得
,
,其中
分别是满足上述关系式的最小的正整数,
由性质的含义可得
,
,
若,则取
,可得
;
若,则取
,可得
.
记,则对于
,有
,
,显然
,
由性质的含义可得
,
,
所以
所以.
所以,
又是满足
,
的最小的正整数,
所以,
,
所以,
,
所以,
,
,
取,则
,
所以,若是偶数,则
;
若是奇数,则
,
所以,
所以是公差为1的等差数列.
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【题目】如图已知椭圆C: +y2=1,以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0).设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求 的最小值;
(2)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:丨OR丨丨OS丨为定值.
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【题目】已知函数f(x)=ax+ 的图象经过点A(1,1),B(2,﹣1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;
(3)求f(x)在区间[ ,1]上的值域.
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【题目】如图,抛物线:
与椭圆
:
在第一象限的交点为
,
为坐标原点,
为椭圆的右顶点,
的面积为
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点作直线
交
于
、
两点,射线
、
分别交
于
、
两点,记
和
的面积分别为
和
,问是否存在直线
,使得
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】解答
(1)已知全集U={x|﹣5≤x≤10,x∈Z},集合M={x|0≤x≤7,x∈Z},N={x|﹣2≤x<4,x∈Z},求(UN)∩M(分别用描述法和列举法表示结果)
(2)已知全集U=A∪B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},若集合A∩UB={2,4,6,8},求集合B;
(3)已知集合P={x|ax2+2ax+1=0,a∈R,x∈R},当集合P只有一个元素时,求实数a的值,并求出这个元素.
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【题目】等腰直角三角形ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上,B在y轴的正半轴上,C在第一象限,设∠BAO=θ(O为坐标原点),AB=AC=2,当OC的长取得最大值时,tanθ的值为( )
A.
B.﹣1+
C.
D.
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【题目】某公司为评估两套促销活动方案(方案1运作费用为5元/件;方案2的运作费用为2元/件),在某地区部分营销网点进行试点(每个试点网点只采用一种促销活动方案),运作一年后,对比该地区上一年度的销售情况,制作相应的等高条形图如图所示.
(1)请根据等高条形图提供的信息,为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案(不必说明理由);
(2)已知该公司产品的成本为10元/件(未包括促销活动运作费用),为制定本年度该地区的产品销售价格,统计上一年度的8组售价(单位:元/件,整数)和销量
(单位:件)(
)如下表所示:
售价 | 33 | 35 | 37 | 39 | 41 | 43 | 45 | 47 |
销量 | 840 | 800 | 740 | 695 | 640 | 580 | 525 | 460 |
①请根据下列数据计算相应的相关指数,并根据计算结果,选择合适的回归模型进行拟合;
②根据所选回归模型,分析售价定为多少时?利润
可以达到最大.
49428.74 | 11512.43 | 175.26 | |
124650 |
(附:相关指数)
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