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已知向量
m
=(
3
sinx+cosx,1),
n
=(cosx,-f(x))
,且
m
n

(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x∈[0, 
π
2
]
时,函数g(x)=a[f(x)-
1
2
]+b
的最大值为3,最小值为0,试求a、b的值.
分析:(1)根据两个向量的数量积公式,两个向量垂直的性质 以及三角函数的恒等变换求得f(x)=sin(2x+
π
6
)+1,令 2kπ-
π
2
≤(2x+
π
6
)≤2kπ+
π
2
,k∈z,求得x的范围,
可得函数的增区间,同理求得函数的减区间.
(2)由于g(x)=asin(2x+
π
6
)+b
,当x∈[0,
π
2
]
时,-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1
,分a>0和a<0两种情况,分别根据函数的最值求出a、b的值,从而得出结论.
解答:解:(1)由题意可得
m
n
=
3
sinxcosx+cos2x-f(x)=0,∴f(x)=
3
2
sin2x+
1+cos2x
2
=sin(2x+
π
6
)+1,
令 2kπ-
π
2
≤(2x+
π
6
)≤2kπ+
π
2
,k∈z,解得 kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
,k∈z,
故函数的增区间为[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
],k∈z.
同理求得函数的减区间为[kπ+
π
6
,kπ+
3
],k∈z.
(2)由于g(x)=asin(2x+
π
6
)+b
,当x∈[0,
π
2
]
时,-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1

①若a>0,则gmax(x)=a+b,gmin(x)=-
1
2
a+b

a+b=3
-
1
2
a+b=0
得a=2,b=1…(10分)
②若a<0,则gmax(x)=-
1
2
a+b
,gmin(x)=a+b,
a+b=0
-
1
2
a+b=3
得a=-2,b=2.…(12分)
综上得,a=2,b=1,或a=-2,b=2.
点评:本题主要考查两个向量的数量积公式的应用,两个向量垂直的性质,三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的定义域、值域、单调性,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(
3
sinx,cosx),
n
=(cosx,cosx),
p
=(2
3
,1)

(1)若
m
n
,求sinx•cosx的值;
(2)设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角B的取值集合为M,当x∈M时,求函数f(x)=
m
n
的值域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(
3
sinx-cosx,  1)
n
=(cosx,  
1
2
)
,若f(x)=
m
n

(1) 求函数f(x)的最小正周期;
(2) 已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且c=3, f(
C
2
+
π
12
)=
3
2
(C为锐角),2sinA=sinB,求C、a、b的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(
3
sinx+cosx,1),
n
=(
1
2
f(x),cosx),
m
n

(I)求f(x)的单调增区间及在[-
π
6
π
4
]
内的值域;
(II)已知A为△ABC的内角,若f(
A
2
)=1+
3
,a=1,b=
2
,求△ABC的面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•安徽模拟)已知向量
m
=(
3
sinx+cosx,1),
n
=(cosx,-f(x)),
m
n

(1)求f(x)的单调区间;
(2)已知A为△ABC的内角,若f(
A
2
)=
1
2
+
3
2
,a=1,b=
2
,求△ABC的面积.

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