Question

【题目】已知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有 ＜0．
（1）解不等式f（x+ ）＜f（1﹣x）；
（2）若f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：令m=x1，n=﹣x2，且﹣1≤x1＜x2≤1，

代入 ＜0得 ＜0．

∵x1＜x2

∴f（x1）＞f（x2）

按照单调函数的定义，可知该函数在[﹣1，1]上单调递减．

原不等式f（x+ ）＜f（1﹣x）等价于 ，

∴ ＜x＜

（2）解：由于f（x）为减函数，∴f（x）的最大值为f（﹣1）=1，

∴f（x）≤t2﹣2at+1对x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，等价于t2﹣2at+1≥1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，

即t2﹣2at≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．

把y=t2﹣2at看作a的函数，由于a∈[﹣1，1]知其图象是一条线段．

∵t2﹣2at≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立

∴ ，

∴ ，

解得t≤﹣2或t=0或t≥2

【解析】（1）令m=x1 ， n=﹣x2 ， 且﹣1≤x1＜x2≤1，代入条件，根据函数单调性的定义进行判定；根据函数的单调性，以及函数的定义域建立不等式组，解之即可．（2）由于f（x）为减函数，可得f（x）的最大值为f（﹣1）=1．f（x）≤t2﹣2at+1对a∈[﹣1，1]，x∈[﹣1，1]恒成立t2﹣2at+1≥1对任意a∈[﹣1，1]恒成立t2﹣2at≥0对任意a∈[﹣1，1]恒成立．看作a的一次函数，即可得出．