Question

一动圆与圆x²+y²+6x+5=0外切，同时与圆x²+y²-6x-91=0内切，则动圆圆心M的轨迹方程是

x2

36

+

y2

27

=1

．

Answer 1

分析：求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心坐标，判断动圆的圆心的轨迹满足椭圆的定义，然后求解方程．

解答：解：设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的加以分别为O₁、O₂，
将圆x²+y²+6x+5=0的方程分别配方得：（x+3）²+y²=4，
圆x²+y²-6x-91=0化为（x-3）²+y²=100，
当动圆与圆O₁相外切时，有|O₁M|=R+2…①
当动圆与圆O₂相内切时，有|O₂M|=10-R…②
将①②两式相加，得|O₁M|+|O₂M|=12＞|O₁O₂|，
∴动圆圆心M（x，y）到点O₁（-3，0）和O₂（3，0）的距离和是常数12，
所以点M的轨迹是焦点为点O₁（-3，0）、O₂（3，0），长轴长等于12的椭圆．
∴2c=6，2a=12，
∴c=3，a=6
∴b²=36-9=27
∴圆心轨迹方程为

x2

36

+

y2

27

=1．
故答案为：

x2

36

+

y2

27

=1．

点评：本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是椭圆是关键．