Question

如图，三棱锥D-ABC中，AB，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，点E是AC中点，异面直线AD与BE所成角为θ．
（1）求证：AC⊥平面DBE；
（2）若cosθ=

10

10

，求三棱锥D-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）利用线线、线面垂直关系的相互转化证明AC⊥BE，AC⊥BD，再由线线垂直⇒线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，给出相关点的坐标，设D（0，0，x），再求出

AD

，

BE

的坐标，根据cosθ=

10

10

，求得x，代入棱锥的体积公式计算．

解答：解：（1）证明：在△ABC中，∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形．
又点E为AC中点，∴AC⊥BE．
∵AB，BC，BD两两垂直，∴BD⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥BD，BD∩BE=B，
∴AC⊥平面DBE．
（2）建立空间直角坐标系如图：
则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），E（1，1，0）
设D（0，0，x），

AD

=（0，-2，x），

BE

=（1，1，0）
cos＜

AD

，

BE

＞=

-2

2+x2 × 2

，∵cosθ=

10

10

，
∴

2

4+x2 × 2

=

10

10

⇒x=4，
∴V_D-ABC=

1

3

×

1

2

×2×2×4=

8

3

．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定，考查了用向量坐标运算求异面直线所成角的余弦值，利用向量方法解立体几何问题关键是建立空间直角坐标系．