【题目】某产品自生产并投入市场以来,生产企业为确保产品质量,决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测,并依据质量指标Z来衡量产品的质量.当时,产品为优等品;当时,产品为一等品;当时,产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500件,绘制了这500件产品的质量指标的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本,估计该企业生产该产品的质量情况,并用频率估计概率.
(1)从该企业生产的所有产品中随机抽取4件,求至少有1件优等品的概率;
(2)现某人决定购买80件该产品.已知每件成本1000元,购买前,邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测,买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议:从80件产品中随机抽出4件产品进行检测,若检测出3件或4件为优等品,则按每件1600元购买,否则按每件1500元购买,每件产品的检测费用250元由企业承担.记企业的收益为X元,求X的分布列与数学期望.
【答案】(1);(2)分布列见解析,数学期望为41500.
【解析】
(1)先求出从样本中随机取一件为优等品的概率,再求从该企业生产的所有产品中随机抽取4件,没有一件是优等品的概率,从而可求出至少有一件是优等品的概率.
(2)由题意求出检测出3件或4件为优等品时及检测出的优等品低于3件时的的值,结合第一问求出,,从而可得的分布列,即可计算其数学期望.
(1)解:由题意知,500件产品中共有优等品件,
则从样本中随机取一件为优等品的概率为,
所以从该企业生产的所有产品中随机抽取4件,没有一件是优等品的概率为,
则随机抽取4件,至少有1件优等品的概率为.
(2)解:检测出3件或4件为优等品时 ,
检测出的优等品低于3件时,,由题意知
,
,故X的分布列为
| 47000 | 39000 |
|
|
|
所以数学期望.
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【题目】已知椭圆的长轴长为,右顶点到左焦点的距离为,、分别为椭圆的左、右两个焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知椭圆的切线(与椭圆有唯一交点)的方程为,切线与直线和直线分别交于点、,求证:为定值,并求此定值;
(3)设矩形的四条边所在直线都和椭圆相切(即每条边所在直线与椭圆有唯一交点),求矩形的面积的取值范围.
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【题目】如图,在三棱锥中,是边长为2的正三角形,是等腰直角三角形,.
(I)证明:平面平面ABC;
(II)点E在BD上,若平面ACE把三棱锥分成体积相等的两部分,求二面角的余弦值.
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【题目】已知函数,.
(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)设函数,试判断函数是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)当时,写出与的大小关系.
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【题目】在直角坐标系中,已知点,的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)设曲线与曲线相交于,两点,求的值.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求C1的极坐标方程;
(2)若C1与曲线C2:ρ=2sinθ交于A,B两点,求|OA||OB|的值.
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【题目】在①acosB+bcosA=cosC;②2asinAcosB+bsin2A=a;③△ABC的面积为S,且4S=(a2+b2-c2),这三个条件中任意选择一个,填入下面的问题中,并求解,在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,函数=2sinωxcosωx+2cos2ωx的最小正周期为π,c为在[0,]上的最大值,求a-b的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.
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