Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，AB=BD= ，PB=3．

（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）设Q是棱PC上的点，当PA∥平面BDQ时，求二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AD中点O，连结OP，OB，

∵△PAD是边长为2的正三角形，∴OP= ，OP⊥AD，

又AB=AD= ，∴OB⊥AD，且OB= ．

于是OB2+OP2=9=PB2，从而OP⊥OB．

所以OP⊥面ABCD，而OP面PAD，所以面PAD⊥面ABCD．

（2）连结AC交BD于E，则E为AC的中点，连结EQ，当PA∥面BDQ时，PA∥EQ，所以Q是BC中点．

由（1）知OA，OB，OP两两垂直，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则B（0， ，0），C（﹣2， ，0），D（﹣1，0，0），P（0，0， ），Q（﹣1， ），

， ．

设面BDQ的法向量为 ，由 ，取 ．

面ABD的法向量是 ，∴cos＜ ＞=﹣ ．

∵二面角A﹣BD﹣Q是钝角，∴二面角A﹣BD﹣Q的余弦值为﹣ ．

【解析】（1）取AD中点O，连结OP，OB，根据等边三角形三线合一可证OP⊥AD，由几何关系得出各线段长度后结合勾股定理证出OP⊥OB，由线面垂直得到面面垂直，（2）以O为坐标原点，以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由法向量得到二面角的余弦值.
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．