Question

如图所示，已知直线a、b、c不共面，P是它们的公共点，A∈a，D∈a，B∈b，C∈c，A、B、C、D四点不与P重合，求证：BD和AC是异面直线．

Answer 1

答案：
解析：

　　思路解析：方法一：用反证法；

　　方法二：用异面直线的判定定理“过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线”．

　　证法一：假设BD和AC不是异面直线，则可设BD和AC共面于α，

　　∴A∈α，B∈α，C∈α，D∈α．

　　∵A∈α，D∈α，∴aα．

　　又P是a、b、c的公共点，∴P∈α．

　　∵B∈b，C∈c，cα，

　　∴a、b、c三线共面，这与已知a、b、c不共面矛盾．

　　∴假设不成立．故BD和AC是异面直线．

　　证法二：由已知，得D∈平面APC，AC平面APC，DAC，B平面APC．根据异面直线的判定定理得BD和AC是异面直线．