Question

若方程ln(x+1)=

2

x

的根在区间（k，k+1）（k∈Z）上，则k的值为（　　）

A．-1

B．1

C．-1或2

D．-1或1

Answer 1

分析：令f（x）=ln（x+1）-

2

x

，x＞-1，则当x＞0时，根据函数零点的判定定理求得f（x）在（ 1，2）上有唯一零点，
此时，k=1．当-1＜x＜0时，f（x）在区（-1，0）上也是增函数，根据函数零点的判定定理求得f（x）在（-1，0）
上有唯一零点，此时，k=-1．综合可得k的值．

解答：解：令f（x）=ln（x+1）-

2

x

，且x＞-1，则方程ln(x+1)=

2

x

的实数根即为f（x）的零点．
则当x＞0时，f（x）在区间（k，k+1）（k∈Z）上单调递增，
由于f（1）=ln2-2＜0，f（2）=ln3-1＞0，
∴f（1）•f（2）＜0，故f（x）在（1，2）上有唯一零点．
当x＜0时，f（x）在区（-1，0）上也是增函数，由f（-

99

100

）=ln

1

100

+

200

99

=

200

99

-ln100＜3-lne³=0，
f（-

1

100

）=ln

99

100

+200＞200-ln1＞200＞0，
可得 f（-

99

100

）•f（-

1

100

）＜0，故函数f（x）在（-

99

100

，-

1

100

）上也有唯一零点，
故f（x）在区（-1，0）上也唯一零点，此时，k=-1．
综上可得，∴k=±1，
故选D．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，体现了化归与转化、分类讨论的数学思想，
属于基础题．