Question

【题目】已知数列{an}满足a2＝2，(n－1)an＋1－nan＋1＝0(n∈N*)，求数列{an}的通项．

Answer 1

【答案】

【解析】试题分析：本题考査的知识点是数列的相关性质及数学归纳法.由 ，代入计算，以依次求出数列的前几项，分析规律后，可归纳出数列的通项公式，利用数学归纳法证明,①易证当时,原等式成立；②假设当时，等式成立，去推证当时，原等式也成立即可（注意利用好归纳假设）..

试题解析：当n＝1时，a1＝1，

由a2＝2，可得a3＝3，猜想an＝n.

证明如下：

当n＝1,2时，a1＝1，a2＝2，猜想成立；

假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，猜想成立，即ak＝k，

又(k－1)ak＋1－kak＋1＝0，

即(k－1)ak＋1－k2＋1＝0，

∵k≥2，∴k－1≠0，

∵ak＋1＝k＋1，即n＝k＋1时，猜想成立，

∴n∈N*时，an＝n.