Question

设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点为F₂，过点F₂的直线l与双曲线C相交于A，B两点，直线l的斜率为

35

，且

AF2

=2

F2B

；
（1）求双曲线C的离心率；
（2）如果F₁为双曲线C的左焦点，且F₁到l的距离为 

2 35

3

，求双曲线C的方程．

Answer 1

分析：（1）利用双曲线的第二定义可求得双曲线C的离心率；
（2）利用点到直线间的距离公式可求得由F₁到l的距离为

35 c

3

，于是有

35 c

3

=

2 35

3

，可求得c，继而可得a²，b²的值，从而可求得双曲线C的方程．

解答：解：作双曲线的右准线L：x=

a2

c

，
分别作AA₁⊥L，BB₁⊥L，垂足分别为A₁、B₁，作BH⊥AA₁，交AA₁于H，
根据双曲线第二定义，

|AF2|

|AA1|

=

|BF2|

|BB1|

=e，（e是离心率），
∵

AF2

=2

F2B

，
∴|AA₁|=2|BB₁|=2|A₁H|，
∴H为线段AA₁的中点，故|A₁H|=|AH|，
设|BB₁|=m，则|AH|=m，|AA₁|=2m①
∵直线AB的斜率为

35

，设AB与x轴成角为θ，则tanθ=

35

，即

|BH|

|AH|

=

35

，
∴|BH|=

35

|AH|=

35

m，
∴在直角三角形BHA中，|AB|=6m；
∴|AF₂|=4m，②
由①②得：e=

|AF2|

|AA1|

=

4m

2m

=2；
（2）∵直线方程l为：y=

35

（x-c），即

35

x-y-

35

c=0，
左焦点F₁至AB距离d=

|- 35 c-0- 35 c|

( 35 )2+1

=

2 35 c

6

=

35 c

3

，
又F₁到l的距离为 

2 35

3

，
∴

35 c

3

=

2 35

3

，
∴c=2，又e=

c

a

=2，
∴a=1，b=

3

，
∴双曲线方程为：x²-

y2

3

=1．

点评：本题考查双曲线的第二定义，考查点到直线间的距离公式，考查双曲线的性质的综合应用，属于难题．