Question

【题目】已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)．

(1)若f(x)在x＝2处取得极值，求a的值；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)求证：当x>1时， x2＋ln x<x3.

Answer 1

【答案】（1）a＝4；（2）见解析.；（3）见解析.

【解析】

（1）由f′(2)=0即可求出a＝4。

（2）由题可得f(x)的定义域为x>0。求出f′(x) =x－，当a≤0时f′(x) >0恒成立。故f(x)在 (0，＋∞) 单调递增；当a>0时，令f′(x)>0解得即为f(x)的单调増区间，令f′(x)<0解得即为f(x)的单调减区间。

（3）构造函数g(x)＝x3－x2－ln x，利用导数得出g(x)在(1，＋∞)上为单调递增。易得g(x) >0恒成立，进而可得到结论。

(1)解：f′(x)＝x－ ，因为x＝2是一个极值点，

所以2－＝0，所以a＝4.

(2)解：因为f′(x)＝x－，f(x)的定义域为x>0，

所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

当a>0时，f′(x)＝x－＝＝，

令f′(x)>0，得x>，

所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；

令f′(x)<0，得0<x<，

所以函数f(x)的单调递减区间为(0，)．

(3)证明：设g(x)＝x3－x2－ln x，

则g′(x)＝2x2－x－，

因为当x>1时，g′(x)＝>0，

所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数．

所以g(x)>g(1)＝>0.

所以当x>1时，x2＋ln x<x3.