Question

设a、b、m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m 同余．记为a≡b（mod m）．已知a=2+C

1 20

+C

2 20

•2+C

3 20

•2²+…+C

20 20

•2¹⁹，b≡a（mon 10），则b的值可以是（　　）

A．2015

B．2012

C．2008

D．2006

Answer 1

分析：根据已知中a和b对模m同余的定义，结合二项式定理，我们可以求出a的值，结合a≡b（bmod10），比较四个答案中的数字，结合得到答案．

解答：解：∵已知a=2+

C

1 20

+

C

2 20

•2+

C

3 20

•2² +…+

C

20 20

•2¹⁹
=

1

2

（

C

0 20

+

C

1 20

•2+

C

2 20

•2²+

C

3 20

•2³+…+

C

20 20

•2²⁰ ）+

3

2

 
=

1

2

•（1+2）²⁰+

3

2

=

1

2

•3²⁰+

3

2

，
∵3¹个位是3，3²个位是9，3³个位是7，3⁴个位是1，3⁵个位是3，…
∴3²⁰个位是1，故a=

1

2

•3²⁰+

3

2

 的个位数是2．
又∵b≡a（bmod10），
∴b的个位也是2，结合所给的选项，
故选B．

点评：本题考查的知识点是同余定理，其中正确理解a和b对模m同余，是解答本题的关键，同时利用二项式定理求出a的值，也很关键，属于中档题．