Question

【题目】已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且满足（2b﹣a）cosC=ccosA．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设y=﹣4 sin2 +2sin（C﹣B），求y的最大值并判断当y取得最大值时△ABC的形状．

Answer 1

【答案】解：（I）∵（2b﹣a）cosC=ccosA，

由正弦定理可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，

化为：2sinBcosC=sin（C+A）=sinB，

∵sinB≠0，∴cosC= ，

∵C∈（0，π），∴C= ．

（II）y=﹣4 sin2 +2sin（C﹣B）= （1﹣cosA）+2sin =sinA+ cosA﹣2 =2 ﹣2 ，

∵A∈ ，∴ ∈ ，

∴当A+ = ，即A= 时，y确定最大值2﹣2 ，此时B= ，

因此△ABC为直角三角形

【解析】（I）由（2b﹣a）cosC=ccosA，由正弦定理可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，利用和差关系化简可得：cosC= ，即可得出C．

（II）利用倍角公式、和差公式可得：y=2 ﹣2 ，再利用三角函数的单调性及其最值可得A，再利用三角形内角和定理即可得出．

【考点精析】利用正弦定理的定义和余弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．