Question

（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满

分6分）

已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.

（1）判断函数是否是“S-函数”；

（2）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；

（3）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.

Answer 1

（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满

分6分）

已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.

（1）判断函数是否是“S-函数”；

（2）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；

（3）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.

解：（1）若是“S-函数”，则存在常数，使得 (a+x)(a-x)=b.

即x²=a²-b时，对xÎR恒成立.而x²=a²-b最多有两个解，矛盾，

因此不是“S-函数”.……………………………………………………3分

若是“S-函数”，则存在常数a,b使得，

即存在常数对（a, 3^2a）满足.

因此是“S-函数”………………………………………………………6分

（2）是一个“S-函数”，设有序实数对（a, b）满足:

则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.

当a=时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot²(x)，不是常数.……………………7分

因此，,

则有.

即恒成立.  ……………………………9分

即,

当,时，tan(a-x)tan(a+x)=cot²(a)=1.

因此满足是一个“S-函数”的常数（a, b）=.…12分

(3) 函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，

于是

即,

 ，.……………………14分

.………16分

                  

因此, …………………………………………17分

综上可知当时函数的值域为.……………18分