Question

已知函数f(x)=(a-

1

2

)x2-lnx(a∈R)
（I）当a=l时，求f（x）在（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数h（x）=f（x）+21nx（a∈R）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）把a=1代入函数f（x），对f（x）进行求导得到极值，求出单调区间，从而求出最值；
（Ⅱ）已知在区间（1，+∞）上，函数h（x）=f（x）+21nx（a∈R）的图象恒在直线y=2ax的下方，将问题转化为对任意x∈（1，+∞），不等式（a-

1

2

）x²+lnx-2a＜0恒成立，只要求出（a-

1

2

）x²+lnx-2a的最大值小于0即可，我们可以令一个新的函数，然后利用导数研究其最值问题，从而求解；

解答：解：（I）当a=1时，f（x）=

1

2

x²-lnx（a∈R）
f′（x）=x-

1

x

=

(x-1)(x+1)

x

（x＞0）
当x∈（0，1），f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（1，e]，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
∴函数f（x）在区间（0，1]上单调递减，在（1，e]，上单调递增，
则当x∈（0，e]上，f（x）_min=f（1）=

1

2

；
（Ⅱ）在区间（1，+∞）上，函数h（x）=f（x）+21nx（a∈R）的图象恒在直线y=2ax的下方，
等价于对任意x∈（1，+∞），不等式（a-

1

2

）x²+lnx-2a＜0恒成立，
设g（x）=（a-

1

2

）x²+lnx-2a，x∈（1，+∞），
则g′（x）=（2a-1）x-2a+

1

x

=（x-1）（2a-1-

1

x

）
当x∈（1，+∞），时，x-1＞0，0＜

1

x

＜1，
①若2a-1≤0，即a≤

1

2

，g′（x）＜0，函数g（x）在区间[1，+∞）上位减函数，
则当?x∈（1，+∞）时，g（x）＜g（1）=a-

1

2

-2a=-

1

2

-a，只需要
-

1

2

-a≤0，即当-

1

2

≤a≤

1

2

时，g（x）=（a-

1

2

）x²+lnx-2ax＜0恒成立；
②若0＜2a-1＜1，即

1

2

＜a＜1时，令g′（x）=（x-1）（2a-1-

1

x

）=0，
得x=

1

2a-1

＞1，函数g（x）在区间（1，

1

2a-1

）为减函数，在（

1

2a-1

，+∞）上位增函数，
则g（x）∈（g（

1

2a-1

），+∞），不合题意；
③若2a-1≥1即当a≥1时，g′（x）＞0，函数g（x）在区间（1，+∞）为增函数，则g（x）∈（g（1），+∞），不合题意，
综上可知当-

1

2

≤a≤

1

2

时，g（x）=（a-

1

2

）x²+lnx-2ax＜0恒成立；
即当-

1

2

≤a≤

1

2

时，在区间（1，+∞）上函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，第一问比较简单，是特殊的情况，第二题其实质是一个函数的恒成立问题，解题过程中用到了转化的思想和分类讨论的思想，这是高考的热点问题，本题是一道综合题，难度比较大；