Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a＞0）．正项数列{b_n}满足bn2=a_na_n+1（n∈N^*）．若 {b_n}是公比为

2

的等比数列
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若a=

2

，S_n为{a_n}的前n项和，记T_n=

17Sn-S2n

an+1

设Tn0为数列{T_n}的最大项，求n₀．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

bn+12

bn2

=2，由此可推得

an+2

an

=2，所以数列{a_n}奇数项偶数项均构成等比数列，分段可写出{a_n}的通项公式；
（2）a=

2

时，{a_n}为等比数列，可表示出S_n，进而表示出T_n，运用基本不等式可求得数列{T_n}的最大项及相应的n值；

解答：解：（1）

bn+12

bn2

=

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

=2，
又∵a₁=1，a₂=a（a＞0），
∴a_n=

( 2 )n-1，n为正奇数 a( 2 )n-2，n为正偶数

．
（2）若a=

2

，则an=(

2

)n-1（n∈N^*），则{a_n}为等比数列，公比为

2

，
所以Sn=

1×[1-( 2 )n]

1- 2

=

1-( 2 )n

1- 2

．
T_n=

17Sn-S2n

an+1

=

1

1- 2

[(

2

)n+

16

( 2 )n

-17]≤

1

1- 2

(8-17)=9(

2

+1)．
等号当且仅当(

2

)n=

16

( 2 )n

，即n=4时取到，
n₀=4．

点评：本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式，考查基本不等式求最值，考查学生分析解决问题的能力，属难题．