Question

已知函数f（x）=|x-a|+|x+2|（a为常数，且a∈R）．
（I）若函数f（x）的最小值为2，求a的值；
（II）当a=2时，解不等式f（x）≤6．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f （x）=|x-a|+|x+2|≥|a-x+x+2|=|a+2|，由|a+2|=2，能求出a的值．
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x-2|+|x+2|，由此利用零点分段讨论法能求出不等式f （x）≤6的解集．

解答：解：（Ⅰ）f （x）=|x-a|+|x+2|
=|a-x|+|x+2|
≥|a-x+x+2|=|a+2|，
由|a+2|=2，
解得a=0或a=-4．…（5分）
（Ⅱ）当a=2时，
f （x）=|x-2|+|x+2|．
当x＜-2时，不等式为2-x-x-2≤6，其解为-3≤x＜-2；
当-2≤x＜2时，不等式为2-x+x+2≤6恒成立，其解为-2≤x＜2；
当x≥2时，不等式为x-2+x+2≤6，其解为2≤x≤3；
所以不等式f （x）≤6的解集为[-3，3]． …（10分）

点评：本题考查函数的最小值的求法和应用，考查不等式的解法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．