【题目】如图,在四棱锥中,,,,为等边三角形,且平面平面,为中点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)可证平面,从而得到要证的线面垂直;
(2)过点作的垂线,交于点,连结,可证二面角的平面角为,利用余弦定理可求其余弦值后可得其正弦值.我们也可以建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面的法向量和平面的法向量后可求它们的夹角的余弦值,从而得到二面角的正弦值.
(1)证明:因为,,
所以,
又∵平面平面,且平面平面,平面,
∴平面,又∵平面,∴ 所以,
∵为中点,且为等边三角形,∴,又∵,
∴平面.
(2)【法一】过点作的垂线,交于点,连结,
取中点为,连接.
因为为等边三角形,所以,
由平面平面,平面,平面平面,
所以平面,
平面,所以,由条件知,
又,所以平面,
又平面,所以,
又,所以,
所以,
由二面角的定义知,二面角的平面角为,
在中,,
由,所以,
同理可得,
又,在中,
,
所以,二面角的正弦值为.
【法二】
取中点为,连接,因为为等边三角形,所以,
由平面平面,平面,平面平面,
所以平面,
所以,由,,
可知,所以,
以中点为坐标原点,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
所以,,
所以,
由(1)知,可以为平面的法向量,
因为为的中点,
所以,
由(1)知,平面的一个法向量为,
设平面的法向量为,
由得,
取,则,
所以,
所以二面角的正弦值为.
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【题目】甲,乙两台机床同时生产一种零件,其质量按测试指标划分:指标大于或等于100为优品,大于等于90且小于100为合格品,小于90为次品,现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标 | [85,90) | [90,95) | [95,100) | [100,105) | [105,110) |
机床甲 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
机床乙 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
(1)试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率;
(2)甲机床生产一件零件,若是优品可盈利160元,合格品可盈利100元,次品则亏损20元;假设甲机床某天生产50件零件,请估计甲机床该天的日利润(单位:元);
(3)从甲、乙机床生产的零件指标在[90,95)内的零件中,采用分层抽样的方法抽取5件,从这5件中任选2件进行质量分析,求这2件都是乙机床生产的概率.
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【题目】某化工厂一种溶液的成品,生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质,过滤初期溶液含杂质为2%,每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少,记过滤次数为x()时溶液杂质含量为y.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)按市场要求,出厂成品杂质含量不能超过0.1%,问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求?(参考数据:,)
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【题目】(本小题满分14分)
已知, 为椭圆的左、右顶点, 为其右焦点, 是椭圆上异于, 的动点,且面积的最大值为.
(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;
(Ⅱ)直线与椭圆在点处的切线交于点,当直线绕点转动时,试判断以
为直径的圆与直线的位置关系,并加以证明.
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【题目】已知椭圆的离心率为,其中左焦点(-2,0).
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值.
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【题目】设函数,函数,,其中为常数,且,令函数为函数和的积函数.
(1)求函数的表达式,并求其定义域;
(2)当时,求函数的值域
(3)是否存在自然数,使得函数的值域恰好为?若存在,试写出所有满足条件的自然数所构成的集合;若不存在,试说明理由.
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【题目】随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差;
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率。
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【题目】如图,已知椭圆(a>b>0)的离心率,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程.
(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.
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