Question

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1且a_n+1=1-3S_n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_nb_n=n，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=1-3S_n．
∴当n≥2时，a_n=1-3S_n-1，
可得a_n+1-a_n=-3a_n，化为a_n+1=-2a_n．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为-2，首项为1．
∴a_n=（-2）^n-1．
（2）∵a_nb_n=n，∴b_n=$\frac{n}{（-2）^{n-1}}$．
∴{b_n}的前n项和T_n=1+$\frac{2}{-2}$+$\frac{3}{（-2）^{2}}$+…+$\frac{n}{（-2）^{n-1}}$，
$-\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{-2}+\frac{2}{（-2）^{2}}+\frac{3}{（-2）^{3}}$+…+$\frac{n-1}{（-2）^{n-1}}$+$\frac{n}{（-2）^{n}}$，
∴$\frac{3}{2}{T}_{n}$=$1+\frac{1}{-2}+\frac{1}{（-2）^{2}}$+…+$\frac{1}{（-2）^{n-1}}$-$\frac{n}{（-2）^{n}}$=$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{-2}}$-$\frac{n}{（-2）^{n}}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{2+3n}{3×（-2）^{n}}$
∴T_n=$\frac{4}{9}$-$\frac{4+6n}{9×（-2）^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．