Question

在[

1

2

，2]上，函数f（x）=x²+px+q与函数g(x)=2x+

1

x2

在同一点处取得相同的最小值，那么函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值是（　　）

• A、

  13

  4

• B、4
• C、8
• D、

  5

  4

Answer 1

分析：由于函数f（x）=x²+px+q与函数g(x)=2x+

1

x2

在[

1

2

，2]上的同一点处取得相同的最小值，对与函数g(x)=2x+

1

x2

=x+x+

1

x2

可以利用均值不等式求出最小值及取最小值时的x的值，在对于f（x）利用题意得到p，q的方程，使得f（x）的解析式具体，然后求出f（x）在定义域上的最大值即可．

解答：解：∵函数f（x）=x²+px+q与函数g(x)=2x+

1

x2

在[

1

2

，2]上的同一点处取得相同的最小值，
对与g(x)=2x+

1

x2

=x+x+

1

x2

≥3

x•x• 1 x2

=3（当且仅当x=

1

x2

即x=1时取等号），
∴由f（x）=x²+px+q及题意知道：

- p 2 =1 f(1)=1+p+q=3

?

p=-2 q=4

，
所以f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3  当x∈[

1

2

，2]时，
利用二次函数的对称性可以知道：此二次函数的对称轴为x=1，并且此函数开口向上，
所以当自变量x=2时离对称轴最远故当x-2时使得此函数在所各的定义域内函数值最大，
故f（x）_max=f（2）=2²-2×2+4=4．
故答案为：B

点评：此题考查了均值不等式求最值，二次函数及二次函数的性质．