Question

对于任意实数a，要使函数Y=5cox（

2k+1

3

πx-

π

6

）（k∈N^*）在区间[a，a+3]上的值

5

4

出现的次数不小于4次，又不多于8次，则k=

2和3

．

Answer 1

分析：根据函数一个周期有且只有2个不同的自变量使其函数值为

5

4

，故

5

4

出现的次数不小于4次，又不多于8次，得到该函数在此区间上至少2个周期，至多4个周期，由区间的长度为3，列出关于周期T的不等式组，再找出ω的值，代入周期公式求出函数的周期T，将求出的T代入不等式组得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集中的正整数解即可得到k的值．

解答：解：函数在一个周期内有且只有2个不同的自变量使其函数值为

5

4

，
因此该函数在区间[a，a+3]（该区间的长度为3）上至少有2个周期，至多有4个周期，
因此

3≥2T 3≤4T

，即

3

4

≤T≤

3

2

，
又∵ω=

2k+1

3

π，∴T=

6

2k+1

，
∴

3

4

≤

6

2k+1

≤

3

2

，
解得

3

2

≤k≤

7

2

，又k∈N，
则k=2或3．
故答案为：2或3

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，考查了转化的数学思想．根据题意得出该函数在区间[a，a+3]（该区间的长度为3）上至少有2个周期，至多有4个周期是本题的突破点，将所求的k的值进行转化与化归，列出关于k的不等式是解决本题的关键，充分利用函数的周期性和区间长度的关系，注意不等式思想的运用．