【题目】已知函数f (x)=ex+2x2-3x.
(1)求证:函数f (x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点.
(2)当x≥时,若关于x的不等式f (x)≥ x2+(a-3)x+1恒成立,试求实数a的取值范围.
【答案】(1)见解析.
(2) .
【解析】分析:(1)先求f′(0)与f′(1),看两值是否异号,然后证明f′(x)在[0,1]上单调性,即可证明函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点;
(2)由题意得到ex-,x2-ax-1≥0,构造g(x)=ex-x2-ax-1,分类讨论求出g(x)的最值,即可得到a的范围.
详解:(1)f ′(x)=ex+4x-3,
∵f ′(0)=e0-3=-2<0,f ′(1)=e+1>0,
∴f ′(0)·f ′(1)<0.
令h(x)=f ′(x)=ex+4x-3,则h′(x)=ex+4>0,
∴f ′(x)在区间[0,1]上单调递增,
∴f ′(x)在区间[0,1]上存在唯一零点,
∴f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点.
(2)由f(x)≥x2+(a-3)x+1,得ex+2x2-3x≥x2+(a-3)x+1,即ax≤ex-x2-1,
∵x≥,∴a≤
令g(x)=,则g′(x)=
令φ(x)=ex(x-1)-x2+1,则φ′(x)=x(ex-1).∵x≥,∴φ′(x)>0.
∴φ(x)在[,+∞)上单调递增.∴φ(x)≥φ()=->0.
因此g′(x)>0,故g(x)在[,+∞)上单调递增,
则g(x)≥g()==2-,∴a的取值范围是a≤2-.
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【题目】设函数f(x)=x3+ax2+bx+1的导数满足,,其中常数a,b∈R.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)设,求函数g(x)的极值.
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【题目】函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f′(x)的部分图象如图所示,则下面结论正确的是( )
A.在(1,2)上函数f(x)为增函数
B.在(3,4)上函数f(x)为减函数
C.在(1,3)上函数f(x)有极大值
D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
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【题目】已知函数f(x)=sin(x+ )+sin(x﹣ )+cosx+a(a∈R,a为常数). (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若函数f(x)在[﹣ , ]上的最大值与最小值之和为 ,求实数a的值.
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【题目】已知函数 ,g(x)=2ln(x+m).
(1)当m=0,存在x0∈[ ,e](e为自然对数的底数),使 ,求实数a的取值范围;
(2)当a=m=1时,设H(x)=xf(x)+g(x),在H(x)的图象上是否存在不同的两点A(x1 , y1),B(x2 , y2)(x1>x2>﹣1),使得H(x1)﹣H(x2)= ?请说明理由.
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【题目】偶函数y=f(x)在区间(﹣∞,﹣1]上是增函数,则下列不等式成立的是( )
A.f(﹣1)>f( )
B.f( )>f(﹣ )??
C.f(4)>f(3)
D.f(﹣ )>f( )
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【题目】在一条笔直公路上有A,B两地,甲骑自行车从A地到B地,乙骑着摩托车从B地到A地,到达A地后立即按原路返回,如图是甲乙两人离A地的距离与行驶时间之间的函数图象,根据图象解答以下问题:
直接写出,与x之间的函数关系式不必写过程,求出点M的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;
若两人之间的距离不超过5km时,能够用无线对讲机保持联系,求在乙返回过程中有多少分钟甲乙两人能够用无线对讲机保持联系;
若甲乙两人离A地的距离之积为,求出函数的表达式,并求出它的最大值.
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【题目】2018年6月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的8名同学符合招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名.若将这8名同学分成甲乙两个小组,每组4名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有__________种.
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