Question

已知抛物线C：y²=4（x-1），椭圆C₁的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F和准线l分别重合．
（1）设B是椭圆C₁短轴的一个端点，线段BF的中点为P，求点P的轨迹C₂的方程；
（2）如果直线x+y=m与曲线C₂相交于不同两点M、N，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）抛物线y²=4（x-1）焦点为F（2，0），准线l：x=0．设P（x，y），
∵P为BF中点，
∴B（2x-2，2y）（x＞2，y≠0）．设椭圆C₁的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，
则c=（2x-2）-2=2x-4，b²=（2y）²=4y²，
∵（-c）-（- ）=2，
∴=2，
即b²=2c．∴4y²=2（2x-4），
即y²=x-2（y≠0），此即C₂的轨迹方程．
（2）由，y≠0，知y²+y-m+2=0，
令△=1-4（-m+2）＞0，知m＞．
而当m=2时，直线x+y=2过点（2，0），这时它与曲线C2只有一个交点，
∴所求m的取值范围是（ ，2）∪（2，+∞）．
分析：（1）设P（x，y），B（2x-2，2y）（x＞2，y≠0）．则c=（2x-2）-2=2x-4，b²=（2y）²=4y²，由（-c）-（- ）=2，知 =2，由此能求出C₂的轨迹方程．
（2）由，y≠0，知y²+y-m+2=0，再由根的判别式和题设条件能求出m的取值范围．
点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和应用，解题时要注意公式的合理运用．