Question

15．定义在[-1，1]上的函数f（x）满足：①对任意a，b∈[-1，1]，且a+b≠0，都有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0成立；②f（x）在[-1，1]上是奇函数，且f（1）=1．
（1）求证：f（x）在[-1，1]上是单调递增函数；
（2）解关于x不等式f（x）＜f（$\frac{1}{2}$x+1）；
（3）若f（x）≤m²-2am-2对所有的x∈[-1，1]及a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数单调性的定义进行证明：在区间[-1，1]任取x₁、x₂，且x₁＜x₂，利用函数为奇函数的性质结合已知条件中的分式，可以证得f（x₁）-f（x₂）＜0，所以函数f（x）是[-1，1]上的增函数．
（2）根据（1）中单调性，可得-1≤x＜$\frac{1}{2}$x+1≤1，解得答案；
（3）根据函数f（x）≤m²-2am-2对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，说明f（x）的最大值1小于或等于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．

解答 解：（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
∵$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
则f（x）是[-1，1]上的增函数． 
（2）若f（x）＜f（$\frac{1}{2}$x+1），则-1≤x＜$\frac{1}{2}$x+1≤1，
解得：x∈[-1，0]，
故不等式f（x）＜f（$\frac{1}{2}$x+1）的解集为[-1，0]；
（3）要使f（x）≤m²-2am-2对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只须f（x）_max≤m²-2am-2，即1≤m²-2am-2对任意的a∈[-1，1]恒成立，
亦即m²-2am-3≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．
令g（a）=m²-2am-3，
只须$\left\{\begin{array}{l}g（-1）={m}^{2}+2m-3≥0\\ g（1）={m}^{2}-2m-3≥0\end{array}\right.$，
解得m≤-3或m≥3．

点评 本题考查了抽象函数的单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．