【题目】已知是正数组成的数列,
,且点
在函数
的图象上.
(1)求数列的通项公式;
(2)若列数满足
,
,求证:
【答案】解法一:(Ⅰ)由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1,又a1=1,
所以数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列.
故an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:an=n从而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+···+2+1==2n-1.
因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·2n+4·2n=-2n<0,
所以bn·bn+2<b,
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)因为b2=1,
bn·bn+2-b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b
=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1=2n(bn+1-2n+1)=2n(bn+2n-2n+1)
=2n(bn-2n)=…=2n(b1-2)=-2n〈0,所以bn-bn+2<b2n+1
【解析】试题分析:(1)由题设条件知,根据等差数列的定义即可求出数列的通项公式;(2)根据数列的递推关系,利用累加法求出数列
的表达式,即可比较大小
试题解析:(1)由已知得
所以数列{}是以1为首项,公差为1的等差数列;
即=1+
(2)由(1)知
所以:
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【题目】将函数图像向右平移
个单位得到
的图像,将函数
图像向左平移
个单位得到
的图像,若令
,则
(Ⅰ)函数的最小正周期、单调递增区间;
(Ⅱ)求在区间
上的值域.
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【题目】已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆
过点
,离心率为
,
,
是椭圆
的长轴的两个端点(
位于
右侧),
是椭圆在
轴正半轴上的顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在经过点且斜率为
的直线
与椭圆
交于不同两点
和
,使得向量
与
共线?如果存在,求出直线方程;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知为直角坐标系的坐标原点,双曲线
上有一点
(
),点
在
轴上的射影恰好是双曲线
的右焦点,过点
作双曲线
两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为
,
,若平行四边形
的面积为1,则双曲线的标准方程是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.
(1)证明:B﹣A= ;
(2)求sinA+sinC的取值范围.
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【题目】如图,已知圆经过椭圆
的左右焦点
,与椭圆
在第一象限的交点为
,且
,
,
三点共线.
(1)求椭圆的方程;
(2)设与直线(
为原点)平行的直线交椭圆
于
两点,当
的面积取取最大值时,求直线
的方程.
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