在直角坐标系
中，已知中心在原点，离心率为
的椭圆E的一个焦点为圆
的圆心.
⑴求椭圆E的方程；
⑵设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线
，当直线都与圆
相切时，求P点坐标.
（1）
；（2）
．
解析试题分析：（1）圆心坐标是已知的，故椭圆的焦点是已知的，从而半焦距
已知了，又有离心率，故半长轴长
也能求出，从而求出
，而根据题意，椭圆方程是标准方程，可其方程易得；（2）设P点坐标为
，再设一条切线的斜率为
，则另一条切线的斜率为
，三个未知数
需要三个方程，点P在椭圆上，一个等式，两条直线都圆的切线，利用圆心到切线的距离等于圆的半径又得到两个等式，三个等量关系，三个未知数理论上可解了，当然具体解题时，可设切线斜率为，则点斜率式写出直线方程，利用圆心到切线距离等于圆半径得出关于的方程，而
是这个方程的两解，由韦达定理得
，这个结果又是
，就列出了关于P点坐标的一个方程，再由P点在椭圆上，可解出P点坐标．
试题解析：（1）圆的标准方程为
，圆心为
，所以
，又
，
，
，而据题意椭圆的方程是标准方程，故其方程为． 4分
（2）设
，得
∵
，依题意
到
的距离为
整理得
同理
∴是方程
的两实根 10分
12分
∴
14分
16分
考点：（1）椭圆的标准方程；（2）圆的切线．
作业辅导系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M
满足
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线L：y=
与椭圆恒有不同交点A，B，且
（O为坐标原点），求实数k的范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，F1，F2是离心率为
的椭圆C：
(a＞b＞0)的左、右焦点，直线
：x＝－
将线段F1F2分成两段，其长度之比为1:3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)求
的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．
（1）如果直线l过抛物线的焦点，求
·
的值；
（2）如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知圆
，若焦点在
轴上的椭圆
过点
，且其长轴长等于圆
的直径．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点
作两条互相垂直的直线
与
，与圆交于
、
两点，交椭圆于另一点
，设直线的斜率为
，求弦
长；
（3）求
面积的最大值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知双曲线
的离心率为
，右准线方程为
,
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线
与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在以双曲线C的实轴长为直径的圆上，求m的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C:
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若过点
(2，0)的直线与椭圆相交于两点
，设
为椭圆上一点，且满足
（
为坐标原点），当
时，求实数
取值范围．
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轴上的抛物线被直线
截得的弦长为
，求抛物线的方程.
经过点
，
.
为椭圆
的最大值.